F检验（F-test）
F检验（F-test）是一种基于 F分布（F-distribution） 的统计检验方法，常见于比较方差、检验回归模型整体显著性，或者在 方差分析（ANOVA） 中比较多个总体均值是否存在显著差异。下文将从定义、常见场景、原理、以及在实践中的应用与注意事项几个方面对 F 检验进行介绍。
1. F检验的定义
1.1 什么是 F分布？
F分布 是一种偏态分布，由两组自由度（
d
1
d_1
d1 和
d
2
d_2
d2）来决定形状。如果
U
∼
χ
2
(
d
1
)
U \sim \chi^2(d_1)
U∼χ2(d1) 且
V
∼
χ
2
(
d
2
)
V \sim \chi^2(d_2)
V∼χ2(d2) （独立卡方分布），那么
F
=
U
/
d
1
V
/
d
2
F = \frac{U / d_1}{V / d_2}
F=V/d2U/d1 服从自由度为
(
d
1
,
d
2
)
(d_1, d_2)
(d1,d2) 的 F分布。
1.2 F检验概念
F检验（F-test） 指利用 F分布来构造检验统计量，判断某个假设是否成立。常见的用途包括：
比较方差：检验两个总体方差是否相等；回归模型整体显著性检验：在线性回归中检验所有回归系数是否同时为 0（即模型是否有显著解释力）；方差分析（ANOVA）：比较多个总体均值是否不同。
2. F检验的常见应用场景
2.1 比较两个总体方差
原假设：
H
0
:
σ
1
2
=
σ
2
2
H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2
H0:σ12=σ22，即两总体方差相等；备择假设：
H
1
:
σ
1
2
≠
σ
2
2
H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2
H1:σ12=σ22 或同理 > / <；检验统计量：
F
=
S
1
2
S
2
2
F = \frac{S_1^2}{S_2^2}
F=S22S12 其中
S
1
2
,
S
2
2
S_1^2, S_2^2
S12,S22 分别是样本方差；若此 F 值在 F分布下过大/过小，拒绝原假设，认为方差不相等。
2.2 回归模型整体显著性检验
场景：在多元线性回归模型
y
=
β
0
+
β
1
x
1
+
.
.
.
+
β
k
x
k
+
ϵ
y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + ... + \beta_k x_k + \epsilon
y=β0+β1x1+...+βkxk+ϵ 中，想知道这些自变量是否整体对
y
y
y 有显著解释力。原假设：
H
0
:
β
1
=
β
2
=
.
.
.
=
β
k
=
0
H_0: \beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_k = 0
H0:β1=β2=...=βk=0，即自变量都对
y
y
y 无影响；备择假设：至少有一个
β
i
≠
0
\beta_i \neq 0
βi=0。F统计量：
F
=
(
SSR
/
k
)
(
SSE
/
(
n
−
k
−
1
)
)
F = \frac{(\text{SSR}/k)}{(\text{SSE}/(n - k - 1))}
F=(SSE/(n−k−1))(SSR/k) 其中 SSR（Regression Sum of Squares）是回归平方和，SSE（Error Sum of Squares）是残差平方和，
n
n
n 是样本量，
k
k
k 是自变量个数。若 F值大，对应 p值小，就表明至少有一个系数显著不为 0，模型整体有意义。
2.3 方差分析（ANOVA）
场景：想比较 3 个或更多总体的均值是否存在显著差异。原假设：
H
0
:
μ
1
=
μ
2
=
.
.
.
=
μ
k
H_0: \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k
H0:μ1=μ2=...=μk；备择假设：至少有一组均值不同。原理：将总变异拆分为“组间变异”和“组内变异”两部分，构造
F
=
组间均方
组内均方
F = \frac{\text{组间均方}}{\text{组内均方}}
F=组内均方组间均方 若该值很大，表示组间差异显著大于组内差异，有理由拒绝所有均值相等的假设。
3. F检验的原理
F分布起源于两个卡方分布比率的假设，因此 F值越大（或越小），越意味着样本对原假设的背离程度更大。基于显著性水平（如 0.05），可由 F分布表或计算机获得临界值或 p值，来决定是否拒绝原假设。
计算 F统计量；给定显著性
α
\alpha
α，找到 F分布
(
d
1
,
d
2
)
(d_1, d_2)
(d1,d2) 下的分位数
F
α
F_{\alpha}
Fα；决策：若
F
>
F
α
F > F_{\alpha}
F>Fα，就拒绝
H
0
H_0
H0（双尾或单尾看具体检验形式）。
4. 在实践中的应用流程
4.1 比较两个方差示例
假设你有两组实验数据，想比较它们的测量误差大小是否相同：
import numpy as np
from scipy import stats
# 两组数据
group1 = np.array([...])
group2 = np.array([...])
# 样本方差
s1_sq = np.var(group1, ddof=1) # ddof=1 for sample var
s2_sq = np.var(group2, ddof=1)
# F统计量
F_value = s1_sq / s2_sq
# 自由度
df1 = len(group1) - 1
df2 = len(group2) - 1
# p值(双侧)
p_value = 2 * (1 - stats.f.cdf(F_value, df1, df2))
# 若F_value<1时,用1/F_value 并对调df1, df2来算上侧尾p值再翻倍
# 可更好地写成逻辑判断
print("F statistic:", F_value)
print("p-value:", p_value)
如果 p值小于预设显著性水平（如 0.05），则可判定两总体方差不等。
4.2 回归模型整体显著性
在大多数统计/机器学习库中（如 statsmodels、sklearn），做多元线性回归时会自动输出 F统计量与 p值，用于判断模型是否整体显著。例如，在 statsmodels 的 OLS 回归结果中，会在汇总表格中列出 “F-statistic” 及相应的 p值。
4.3 单因素方差分析 ANOVA
import numpy as np
from scipy import stats
groupA = np.array([...]) # 样本1
groupB = np.array([...]) # 样本2
groupC = np.array([...]) # 样本3
F, p = stats.f_oneway(groupA, groupB, groupC)
print("F-statistic:", F)
print("p-value:", p)
若 p < 0.05（在 95%置信水平下），则可认为三组中至少有一组均值不同。
5. 注意事项
正态性
F检验大多假设数据近似正态分布，若偏离严重，需要更稳健的方法（如非参数检验）。 方差齐性
在 ANOVA 中，也要求各组方差齐性；若违背，需要做 Welch ANOVA 或其他校正。 多重比较
如果 ANOVA 显示均值不同，还需进行事后检验（post-hoc test，如 Tukey 检验）以找出哪个组与哪个组不同。 对离群值敏感
方差及 F统计量都易受极端值影响。对异常值多的场景要谨慎处理。 在回归中
F检验只能说明至少一个回归系数不为 0，不意味着每个系数都显著；需配合 t检验对每个系数做单独检测。
6. 小结
F检验是基于 F分布 的显著性检验方法，可用于比较方差、检验回归模型整体显著性、方差分析（ANOVA） 等。关键点在于计算F统计量并与 F分布进行对比，从而判断是否拒绝原假设。在实践中，需要谨慎检查正态性、方差齐性、离群值等假设前提，同时结合业务背景与数据特性选择合适的检验方式或变体。F检验在统计学和数据分析中非常常见，如对比两个工序的误差方差、评估多组实验数据平均值差异、检验回归模型的整体有效性等，都可以借助它来做定量化的判断。
总的来说，F检验是基础但非常实用的统计检验工具之一，一旦理解了 F分布和方差分析的原理，许多相应的统计模型与推断也就更好上手。